Um operador autoadjunto, hermitiano ^{(português brasileiro)} ou hermítico ^{(português europeu)} é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.

• Propriedades

• Um operador ${\displaystyle T\,}$ é autoadjunto se e somente se

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,~~\forall x,y\,}$

• Todo autovalor ${\displaystyle \lambda \,}$ de um operador autoadjunto ${\displaystyle T\,}$ é real:

${\displaystyle \lambda \langle v,v\rangle =\langle Tv,v\rangle =\langle v,Tv\rangle ={\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \,}$

• Se ${\displaystyle \lambda _{1}\,}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}\,}$ são autovalores diferentes associados a autovetores ${\displaystyle v_{1}\,}$ e ${\displaystyle v_{2}\,}$. Então ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0\,}$:

${\displaystyle \lambda _{1}\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle Tv_{1},v_{2}\rangle =\langle v_{1},Tv_{2}\rangle =\lambda _{2}\langle v_{1},v_{2}\rangle \,}$

${\displaystyle \Longrightarrow (\lambda _{1}-\lambda _{2})\langle v_{1},v_{2}\rangle =0}$

Como ${\displaystyle \lambda _{1}}$e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ são distintos, temos ${\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}\neq 0}$, portanto ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0}$.